Capítulo 1 · Qué hay que saber antes de escribir una ley
Sistema, configuración, grados de libertad, vínculos, leyes de distinto orden y la aparición del estado como memoria justa del mundo mecánico ordinario.
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Qué hay que saber antes de escribir una ley
Este primer capítulo no arranca preguntando por fuerzas o por ecuaciones concretas. Arranca más atrás: qué parte del mundo elegimos estudiar, cómo la describimos, cuántos grados de libertad tiene de verdad y qué clase de memoria necesita una ley dinámica para no parecerse ni a un mundo sin inercia ni a un mundo con demasiada.
1. Sistema
¿Qué parte del mundo hemos decidido estudiar?
Le llamaremos sistema. Puede ser un conjunto de \(N\) partículas, un péndulo, un cohete, lo que sea. La pregunta viene antes que cualquier ecuación: primero decides qué objeto vas a tomar como foco.
Idea mínima
“Sistema” no es todavía una descripción matemática. Es la decisión inicial sobre qué parte del mundo quieres entender.
Consecuencia
Solo después de fijar el sistema tiene sentido preguntar qué variables lo describen y qué datos hacen falta para continuar su evolución.
2. Historias
¿Qué observamos?
Observamos historias en el tiempo. Si describimos el sistema mediante coordenadas de configuración, escribiremos
Coordenadas de configuración
\[
q(t) = (q_1(t), \dots, q_n(t))
\]
En esta notación el sistema no tiene por qué vivir en coordenadas cartesianas. Lo importante es que \(q\) capture la colocación del sistema de la forma más natural posible.
Grados de libertad
Lo importante no es cuántas letras escribes, sino cuántos parámetros independientes hacen falta para fijar la configuración. Ese número es el de grados de libertad. Las coordenadas son solo el idioma concreto con el que eliges describirlos.
Aquí conviene separar dos ideas que muchas veces se mezclan. Una cosa es el grado de libertad: cuántos parámetros independientes hacen falta para fijar la configuración. Otra cosa es la coordenada: qué etiquetas concretas eliges para describir esa configuración. En cuanto aparecen ligaduras o vínculos, la diferencia se vuelve decisiva.
Una partícula sobre una línea tiene un solo grado de libertad y resulta natural describirla con \(q=x\). Un péndulo simple puede escribirse con \((x,y)\), pero esas dos coordenadas no son independientes: la masa solo puede moverse sobre una circunferencia de radio fijo. Por eso, aunque escribas dos cartesianas, el sistema tiene en realidad un único grado de libertad. La coordenada adaptada es \(\theta\).
Péndulo: dos coordenadas escritas, un solo grado de libertad
Puedes describir la masa por sus coordenadas cartesianas \((x,y)\). Eso es correcto. Pero esas dos coordenadas no son independientes, porque deben satisfacer \[ x^2 + y^2 = \ell^2. \] La ligadura deja libre en realidad solo un ángulo.
En otras palabras: el péndulo no tiene dos grados de libertad efectivos. Tiene uno. Puedes escribir \((x,y)\), pero la geometría del sistema ya te está diciendo que una sola coordenada adaptada, \(\theta\), basta para recorrer toda la familia de configuraciones permitidas.
θ = 39°
Grado de libertad
Es el número de parámetros independientes que hacen falta para fijar la configuración. En el péndulo simple, ese número es \(1\).
Coordenadas redundantes
Las cartesianas \((x,y)\) sirven, pero esconden la ligadura. No puedes elegir \(x\) e \(y\) libremente: deben vivir sobre la circunferencia de radio \(\ell\).
Coordenada adaptada
El ángulo \(\theta\) ve desde el principio lo que las cartesianas esconden: el movimiento real del sistema ocurre sobre una familia muy particular de configuraciones.
Péndulo doble: escribir cuatro variables no crea cuatro grados de libertad
Si insistes en describir las dos masas con cartesianas, empiezas con \[ (x_1,y_1,x_2,y_2), \] pero enseguida debes imponer dos vínculos de longitud fija: \[ x_1^2+y_1^2=\ell_1^2,\qquad (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=\ell_2^2. \] La geometría real del sistema queda enterrada bajo coordenadas redundantes y restricciones.
En cambio, si usas directamente dos ángulos \((\theta_1,\theta_2)\), la configuración efectiva aparece desde el principio: el sistema tiene dos grados de libertad, no cuatro. Elegir bien las coordenadas no simplifica solo la escritura. Hace visible la estructura real del problema.
θ₁ = 31°
θ₂ = 22°
Cartesiana + vínculos
Escribes cuatro coordenadas, pero dos de ellas quedan atrapadas por los vínculos. El sistema no puede explorar libremente el plano.
Grados de libertad efectivos
\(4\) coordenadas escritas menos \(2\) restricciones independientes dejan \(2\) grados de libertad reales.
Coordenadas adaptadas
Los ángulos \((\theta_1,\theta_2)\) muestran desde el principio qué puede cambiar de verdad. La dinámica sigue siendo rica, pero deja de estar sepultada bajo redundancias.
3. Ley dinámica
¿Qué es una ley dinámica?
Una ley dinámica es la regla que te dice cómo evoluciona el sistema con el tiempo.
En la mecánica clásica ordinaria, eso suele tomar la forma de una ecuación diferencial respecto del tiempo: una regla que relaciona cómo cambia la configuración y qué clase de presente hace falta especificar para continuar la historia.
Aquí ya se asume que la ley dinámica es local: para describirla basta con especificar cómo se relacionan pequeños cambios de unas partes del estado con otras cuando avanzamos un tiempo infinitesimal.
4. Mundos posibles
¿Qué leyes dinámicas son posibles?
Aquí es donde podemos jugar en un playground de físicas posibles y ver cuáles crean mundos interesantes, cuáles degeneran rápidamente y cuáles construyen un universo demasiado distinto del que vemos.
Mundo sin inercia
En un mundo donde \[ \dot x = u(x), \] la velocidad depende solo de la posición. La posición sola fija el futuro inmediato.
Por eso puede verse como un mundo sin inercia: no hay un dato independiente de movimiento además de la posición. En el ejemplo
\[ \dot x = x, \]
las partículas situadas en \(x>0\) se escapan hacia \(x\to+\infty\), las situadas en \(x<0\) se escapan hacia \(x\to-\infty\), y una partícula en \(x=0\) se queda allí.
\(k=1.00\)
Estructura general
La misma posición implica siempre el mismo futuro. No puedes pasar por el mismo punto una vez hacia la derecha y otra hacia la izquierda.
Consecuencias
No hay memoria inercial, no hay oscilaciones genuinas en una línea y no hay overshoot. El sistema queda demasiado pegado a la posición instantánea.
Remate fuerte
Si el espacio es homogéneo e isótropo, la ley libre tendría que ser trivial: una partícula verdaderamente libre no podría hacer otra cosa que permanecer en reposo.
Mundo con demasiada memoria
En el extremo opuesto, imaginemos una ley libre de tercer orden: \[ x^{(3)} = 0. \]
En ese caso, para determinar el futuro ya no bastaría con dar la posición y la velocidad en un instante. Haría falta también la aceleración inicial:
\[ x(t_0), \qquad \dot x(t_0), \qquad \ddot x(t_0). \]
La solución general libre tiene la forma
\[ x(t)=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2, \]
de modo que dos partículas podrían pasar por el mismo punto con la misma velocidad y, sin embargo, tener futuros distintos si su aceleración inicial fuese distinta.
\(T=4.5\)
Exceso de memoria
El presente arrastra un dato extra, \(\ddot x(t_0)\), que influye en el futuro aunque no haya ninguna interacción externa actuando sobre la partícula.
Consecuencias
Una partícula libre puede curvar su historia por sí sola, y el movimiento uniforme deja de ser la forma privilegiada del movimiento libre.
Lección de fondo
La frontera entre movimiento libre y movimiento forzado se vuelve borrosa. Entra demasiada libertad en el estado y el futuro se vuelve artificialmente maleable.
Nuestro mundo: la memoria justa
El caso ordinario que queremos entender mejor es el de segundo orden: \[ m\ddot x = -\frac{dV}{dx}. \] Hacen falta exactamente dos datos iniciales: posición y velocidad.
Aquí no falta memoria, como en el mundo de primer orden, ni sobra memoria, como en el de tercero. Si el caso libre cumple
\[ \ddot x = 0, \]
entonces la solución general es
\[ x(t)=x_0+v_0(t-t_0), \]
y aparece la idea newtoniana central: una partícula libre no tiene por qué quedarse quieta, pero tampoco cambia su velocidad por sí sola. Si la velocidad cambia, buscamos una causa externa en la fuerza o, de forma equivalente, en el potencial.
k = 0.00
Memoria justa
La posición sola no basta, porque el sistema conserva inercia. Pero la aceleración inicial tampoco hace falta: el presente no arrastra un grado de libertad extra.
Partícula libre
Con \(k=0\), todas las partículas parten del mismo punto, pero cada velocidad inicial genera su historia. El movimiento uniforme pasa a ser la forma natural del movimiento libre.
Cuando aparece una fuerza
Si aumentas \(k\), aparece una causa que curva las trayectorias. Eso es justo lo que queremos del mundo ordinario: que el cambio de velocidad no sea capricho del estado, sino efecto de la dinámica externa.
5. Estado
¿Qué llamaremos estado?
Ahora sí podemos decirlo con limpieza. El estado es la información mínima que hace falta dar en un instante para poder continuar la evolución.
La configuración te dice cómo está colocado el sistema. El estado te dice cuánto necesitas saber para no perder su futuro. Y eso solo se entiende del todo después de comparar leyes de primer, segundo y tercer orden.
Configuración
\[ q(t_0) \]
La configuración dice cómo está colocado el sistema en un instante dado.
Estado en el caso ordinario
\[ (q(t_0),\dot q(t_0)) \]
En la mecánica clásica ordinaria, el mundo de segundo orden nos pide justo dos datos iniciales por grado de libertad.
Lo importante
No es verdad que el estado se obtenga siempre “añadiendo una velocidad por cada partícula”. Lo correcto es otra cosa: en mecánica clásica ordinaria, el estado añade un dato independiente de cambio por cada grado de libertad independiente.
- En un mundo de primer orden, bastaría la posición.
- En uno de tercer orden, posición y velocidad no bastarían.
- En el caso ordinario de segundo orden, hacen falta dos datos iniciales por grado de libertad.
Ejemplo: dos partículas ligadas
Si dos partículas se mueven sobre una línea y están unidas por una barra rígida, sus posiciones cumplen
\[ x_2 - x_1 = \ell. \]
Eso significa que \(x_1\) y \(x_2\) no son independientes. En realidad basta una sola coordenada, por ejemplo la posición del centro de masas \(X\). El estado natural se escribe entonces como \((X,\dot X)\), no como “dos posiciones y dos velocidades”.