El capítulo anterior no terminó con una fuerza ni con una energía. Terminó con una idea más básica: para que una ley local y determinista pueda continuar una historia, el presente debe contener información suficiente. En la mecánica ordinaria que vamos a construir, ese presente mínimo tendrá la forma
\[
s=(q,\eta),
\]
donde \(q\) describe la configuración y \(\eta\) contiene el dato de cambio que distingue preparaciones con la misma configuración.
Una vez elegido el espacio de presentes, una ley local tiene la forma
\[
\dot s=X(s,t).
\]
Esto debe leerse literalmente. \(X\) asigna a cada presente una flecha de continuación inmediata. Si el presente es \(s=(q,\eta)\), entonces la flecha tiene dos componentes:
\[
X(q,\eta,t)
=
\bigl(\dot q,\dot\eta\bigr).
\]
En la familia mecánica más habitual escribiremos esa misma idea como
\[
X(q,\eta,t)=\bigl(\eta,A(q,\eta,t)\bigr).
\]
La primera componente dice que \(\eta\) es el ritmo al que cambia \(q\). La segunda componente, \(A\), dice cómo cambia ese ritmo.
Antes de juzgar ninguna ley, conviene mirar varios campos posibles sobre el mismo espacio \((q,\eta)\). Por ejemplo,
\[
X(q,\eta)=(\eta,0)
\]
representa continuación inercial: el dato de cambio se conserva. En cambio,
\[
X(q,\eta)=(\eta,-\omega^2q)
\]
hace que las flechas miren hacia un centro. La ley
\[
X(q,\eta)=(\eta,-\gamma\eta)
\]
frena respecto de un reposo especial. Y
\[
X(q,\eta)=(\eta,a)
\]
incluye una aceleración constante.
Todos esos campos son matemáticamente legítimos. Todos pintan una flecha en cada presente. Pero no dicen el mismo mundo. Unos señalan un centro, otros introducen un sentido de aceleración, otros distinguen el reposo de un medio.
Demo interactiva: varios campos sobre el mismo presente
El espacio de presentes es el mismo en los cuatro paneles. Lo que cambia es la regla que asigna una flecha a cada punto \((q,\eta)\).
Presente de prueba
El punto azul es el mismo presente \(s=(q,\eta)=\)(0.82, 0.65). Cada campo le asigna una continuación \(X_s\) distinta.
Un campo no es todavía una fuerza, una acción ni un Hamiltoniano. Es la tabla local de futuros inmediatos: si el presente es éste, la continuación empieza por esta flecha.
La pregunta no es si esas leyes son matemáticamente posibles. Lo son. La pregunta correcta es otra:
\[
\boxed{\text{¿admisibles respecto de qué modelo?}}
\]
Un modelo físico no contiene solo variables. Contiene también estructura declarada: qué objetos existen, qué se considera parte del sistema, qué queda fuera, qué lugares o direcciones son físicamente especiales y qué transformaciones no deberían cambiar la situación descrita.
Por eso una ecuación no solo predice movimiento. También declara qué mundo estás modelando. Cada término que escribimos en \(X\) debe poder pagar su precio físico: un centro, una dirección externa, un reloj, un medio, una interacción o alguna otra estructura.
Ésta será la regla de lectura del capítulo:
\[
\boxed{\text{un filtro no prohíbe una ecuación; exige declarar qué estructura física la justifica.}}
\]
2.2
Tres estatutos de restricción
Conviene separar desde el principio tres niveles que suelen mezclarse.
Higiene descriptiva. Aquí entra la covariancia descriptiva. Aplica siempre. Cambiar etiquetas no puede cambiar el contenido físico.
Hipótesis de la familia de teorías. Aquí entran localidad temporal, determinismo local, reversibilidad ideal y minimalidad del estado. No son verdades sobre toda física posible. Son el programa que hemos elegido para construir primero el núcleo mecánico limpio.
Simetrías del modelo. Aquí entran homogeneidad espacial, isotropía, homogeneidad temporal, relatividad galileana y simetrías internas de cada sistema. No aplican siempre. Aplican cuando el modelo declara que no hay estructura física que distinga esos casos.
Esta distinción elimina una confusión importante. La covariancia descriptiva no depende de si estudias una partícula libre, un oscilador, un péndulo o dos cuerpos. En cambio, la homogeneidad espacial sí depende del modelo. Una partícula libre en espacio vacío no tiene centro; un oscilador anclado sí.
La pregunta de este capítulo no será:
\[
\text{¿qué fórmulas están permitidas para siempre?}
\]
Sino:
\[
\text{¿qué estructura física estoy introduciendo al escribir este término?}
\]
2.3
Filtro universal: las etiquetas no son física
Empecemos por el filtro que no depende del modelo. Una coordenada no es una pieza de física; es una forma de poner nombres a los estados físicos. Puedes describir el mismo punto con una etiqueta \(q\), o con otra etiqueta regular
\[
Q=Q(q),
\]
Mientras \(Q(q)\) sea una buena etiqueta, no has movido el sistema. Solo has cambiado el idioma.
La imagen correcta es la de una flecha. Supongamos que, en la etiqueta \(q\), la ley dice
\[
\dot q=X(q).
\]
Eso significa: si ahora estás en el punto etiquetado como \(q\), la continuación inmediata tiene componente \(X(q)\) medida con la regla \(q\). Si cambias a la regla \(Q\), la flecha física es la misma, pero su componente numérica puede cambiar, porque la nueva regla puede estar más estirada o más comprimida.
El caso más simple es
\[
Q=2q.
\]
Si en la etiqueta \(q\) la ley dice
\[
\dot q=1
\]
entonces en la etiqueta \(Q\) la misma marcha se escribe
\[
\dot Q=2\dot q=2.
\]
No ha cambiado la física. Avanzar una unidad de \(q\) equivale a avanzar dos unidades de \(Q\). Por eso exigir que en la nueva etiqueta vuelva a cumplirse
\[
\dot Q=1
\]
sería un error: eso ya describe otro movimiento.
El mismo punto se ve mejor con una regla deformada. Si
\[
\dot q=1
\]
y usamos
\[
Q=q^3,
\]
entonces
\[
\dot Q=3q^2=3Q^{2/3}.
\]
La velocidad numérica en \(Q\) ya no es constante, porque la regla \(Q=q^3\) no está estirada igual en todos los puntos. Cerca de \(q=0\) cambia despacio; lejos de \(q=0\), cambia deprisa. La ley parece distinta, pero la historia física es la misma.
Ahora sí, la fórmula general no tiene misterio. Si \(Q=Q(q)\), entonces la regla de la cadena da
No hemos elegido una ley nueva. Hemos transportado la misma flecha a otra descripción.
La misma idea aparece en el plano. La rotación uniforme
\[
\dot x=-\omega y,
\qquad
\dot y=\omega x
\]
se convierte en coordenadas polares en
\[
\dot r=0,
\qquad
\dot\theta=\omega.
\]
No es la misma forma escrita, pero sí la misma curva física.
Ésta es la base que no se negocia:
\[
\boxed{
\begin{gathered}
\text{una coordenada puede revelar estructura;}\\
\text{no puede crear física nueva.}
\end{gathered}
}
\]
Demo interactiva: el vector no sabe de coordenadas
La flecha azul es el objeto geométrico. Mueve la base naranja: la flecha no cambia, solo cambian sus componentes.
Objeto físico
La flecha \(v\) sale del mismo presente \(s\). Al cambiar de base, el vector no se entera: no gira, no se estira y no cambia de dirección.
Componentes
En la base gris: \([v]_q=\)(0.95, 0.55). En la base naranja: \([v]_Q=\)(0.82, 0.00). Giro \(\varphi=\)0.55, escala \(E_1=\)1.35.
Retener
Resultado:el vector permanece; cambian sus componentes. La covariancia descriptiva exige transformar los números, no copiar la fórmula.
2.4
Simetría física: una indiferencia del modelo
Una simetría física no es un cambio de etiqueta. Es una transformación que lleva una situación física a otra que el modelo considera equivalente.
Sea \(M\) el espacio de presentes y sea
\[
\dot s=X(s)
\]
una ley autónoma. Una transformación \(\Phi:M\to M\) es una simetría de la ley si transforma soluciones en soluciones. Si \(s(t)\) sigue el campo \(X\), entonces \(\Phi(s(t))\) debe seguir el mismo campo.
La frase anterior puede sonar demasiado global, así que hagámosla local. Toma un presente \(s\). La ley pinta allí una flecha \(X_s\). Durante un intervalo muy pequeño \(\varepsilon\), esa flecha produce una película mínima:
\[
s
\longmapsto
s_\varepsilon
=
s+\varepsilon X_s+O(\varepsilon^2),
\]
donde la suma solo pretende fijar la imagen en unas coordenadas locales: cola en \(s\), punta en \(s_\varepsilon\).
Ahora hay dos formas de comparar esa película con la situación transformada. La primera ruta es:
\[
s
\xrightarrow{\;X\;}
s_\varepsilon
\xrightarrow{\;\Phi\;}
\Phi(s_\varepsilon).
\]
Es decir: primero dejas que la ley avance un instante y después transformas la cola y la punta. Al mirar el resultado cerca de \(\Phi(s)\), la flecha obtenida es la flecha transportada:
\[
s
\xrightarrow{\;\Phi\;}
\Phi(s)
\xrightarrow{\;X\;}
\Phi(s)+\varepsilon X_{\Phi(s)}+O(\varepsilon^2).
\]
Es decir: primero transformas el presente y después preguntas qué flecha pinta la misma ley en el presente transformado.
Si \(\Phi\) expresa una verdadera indiferencia del modelo, las dos películas infinitesimales deben coincidir hasta primer orden. Por tanto,
\[
\Phi_*X_s=X_{\Phi(s)}.
\]
Esta igualdad no es decoración geométrica. Dice que la ley no puede distinguir dos presentes que el modelo había declarado equivalentes.
Si ya disponemos del lenguaje matemático de campos vectoriales, la misma idea puede escribirse de forma infinitesimal. Cuando la simetría depende de un parámetro continuo, \(\Phi_\lambda\), su generador es otro campo \(Y\). Entonces la condición anterior dice que el flujo de \(Y\) y el flujo dinámico de \(X\) conmutan, al menos localmente. El corchete de Lie mide justamente el fallo infinitesimal de esa conmutación. Por eso la compatibilidad se resume en
\[
[Y,X]=0.
\]
No necesitamos que esta fórmula lleve el peso narrativo. Solo comprime el test de dos rutas: avanzar un poco con la dinámica y luego aplicar la simetría debe dar lo mismo, a primer orden, que aplicar la simetría y luego avanzar con la dinámica. La derivación matemática completa está separada en el anexo sobre el corchete de Lie; aquí basta retener la lectura física.
Demo interactiva: la misma flecha por dos rutas
La igualdad se entiende con una película infinitesimal: avanza desde \(s\), transforma cola y punta, y compara con lo que la ley manda directamente en \(\Phi(s)\).
Ruta A: avanzar y transformar
En \(s=\)(0.58,0.28), la ley pinta \(X_s=\)(-0.28,0.58). Un paso corto deja la punta en \(s+\varepsilon X_s=\)(0.44,0.57). Luego aplicas \(\Phi\) a la cola y a esa punta.
Ruta B: transformar y avanzar
Empiezas directamente en \(\Phi(s)=\)(0.22,0.61). Allí no heredas una flecha: preguntas otra vez a la misma ley. La ruta B usa \(X_{\Phi(s)}=\)(-0.61,0.22).
Test local
La ruta A produce la punta transportada (-0.08,0.70). La ruta B produce la punta directa (-0.12,0.73). Con \(\varphi=\)0.75, las dos flechas coinciden. La transformación no ha sacado a la trayectoria del campo.
2.5
Leer una ley como factura física
Para bajar la idea a tierra, tomemos un estado mínimo unidimensional
\[
s=(q,\eta)
\]
y escribamos una familia muy general:
\[
\dot q=\eta,
\qquad
\dot\eta=A(q,\eta,t).
\]
La función \(A\) no es solo un símbolo. Sus dependencias dicen qué estructura ha entrado en el modelo.
Si
\[
A=0,
\]
la ley no señala centro, no señala dirección de aceleración, no introduce un reloj externo y no frena respecto de un medio. Es el caso desnudo.
Si
\[
A(q,\eta,t)=-\omega^2 q,
\]
la ley señala \(q=0\). Eso no puede describir una partícula libre en espacio homogéneo, pero puede describir un oscilador unido a un anclaje.
Si en tres dimensiones escribimos
\[
\dot{\boldsymbol\eta}=\mathbf g,
\]
hemos introducido un vector fijo \(\mathbf g\). Eso no vale para espacio vacío isótropo, pero sí para un campo externo uniforme.
Si
\[
A(q,\eta,t)=-\gamma\eta,
\]
la ley marca el reposo \(\eta=0\). Eso no pertenece al núcleo galileano libre, pero puede describir rozamiento respecto de un medio.
Si
\[
A(q,\eta,t)=f(t),
\]
hay un reloj o accionamiento externo. La dependencia temporal no es pecado, pero el modelo debe contener algo que marque el ritmo.
La regla queda así:
\[
\boxed{\text{cuando una ley rompe una simetría, pregunta qué cosa física la ha roto.}}
\]
Demo interactiva: leer una ley como factura física
Elige un término para \(A(q,\eta,t)\). El campo siempre es matemáticamente posible; la pregunta es qué estructura física acaba de comprar.
\[
F(\eta-u)=F(\eta)-u,
\qquad
G(\eta-u)=G(\eta)
\quad
\text{para todo }u.
\]
La primera condición deja
\[
F(\eta)=\eta+c.
\]
El término \(c\) sería una velocidad fija añadida por la ley, o una mala elección del cero del dato de cambio. En el modelo libre no hay velocidad natural privilegiada, así que tomamos la escala y el origen de \(\eta\) de modo que
\[
\dot q=\eta.
\]
La segunda condición dice que \(G\) no puede depender de \(\eta\). Solo podría ser una constante. Pero una aceleración constante marcaría una dirección externa en más dimensiones, o un sentido privilegiado en la línea. Como el modelo no contiene campo externo, medio ni interacción, queda
\[
\dot\eta=0.
\]
Así obtenemos
\[
\boxed{\dot q=\eta,\qquad \dot\eta=0.}
\]
No hemos descubierto una ley universal para todos los sistemas. Hemos leído qué forma queda cuando el modelo no contiene estructura adicional.
Demo interactiva: test galileano
Cambia de laboratorio inercial. Una partícula libre no debe revelar reposo absoluto; el rozamiento sí revela un medio.
Cambio de laboratorio
Boost: \(q'=q-ut\), \(\eta'=\eta-u\), con \(u=\)0.80. Modo: libre.
Reposo detectado
Velocidad privilegiada en B:ninguno. no aparece velocidad privilegiada.
Retener
El problema no es que una ley frene. El problema es llamar libre a una ley que ya contiene un medio o una velocidad especial.
2.7
Modelo II: oscilador anclado
Añadamos ahora una estructura nueva: un centro físico. El punto \(q=0\) ya no es un origen arbitrario de coordenadas; es el lugar donde está el anclaje o la posición de equilibrio.
Entonces una ley como
\[
\dot q=\eta,
\qquad
\dot\eta=-\omega^2q
\]
ya no es sospechosa. El término \(-\omega^2q\) compra exactamente la estructura que necesita: un centro.
Si trasladamos solo la coordenada,
\[
q'=q+a,
\]
la ecuación se escribe
\[
\dot\eta=-\omega^2(q'-a).
\]
Eso no contradice la covariancia descriptiva. Al contrario: la ecuación recuerda dónde está el centro físico en la nueva etiqueta. Lo que no podemos hacer es usar \(-\omega^2q\) para una partícula libre y fingir que \(q=0\) no significa nada.
La lección es:
\[
\boxed{-\omega^2q\text{ no es una mala ecuación; es una ecuación con anclaje.}}
\]
2.8
Modelo III: campo uniforme
En tres dimensiones, un campo uniforme idealizado puede escribirse como
\[
\dot{\mathbf q}=\boldsymbol\eta,
\qquad
\dot{\boldsymbol\eta}=\mathbf g.
\]
Este modelo no marca una posición especial: el mismo \(\mathbf g\) actúa en todos los puntos. Por tanto puede conservar homogeneidad espacial.
Pero sí marca una dirección. Si rotamos solo la partícula y dejamos fijo el campo externo, la ley cambia. La isotropía del espacio vacío ya no es una simetría del modelo de la partícula en ese fondo, porque el modelo contiene una flecha física real: \(\mathbf g\).
Esto no contradice la covariancia descriptiva. Podemos rotar las coordenadas y rotar también las componentes de \(\mathbf g\); entonces solo hemos cambiado de idioma. Lo que ya no es cierto es que todas las direcciones físicas sean equivalentes con el fondo \(\mathbf g\) fijado.
Este ejemplo separa dos ideas que a veces se confunden:
Esta ley no marca una posición especial. Si el medio es homogéneo, todos los puntos del espacio pueden seguir siendo equivalentes.
Tampoco tiene por qué marcar una dirección espacial fija. En varias dimensiones, un rozamiento proporcional a \(-\boldsymbol\eta\) puede ser compatible con un medio isótropo.
Pero sí marca una velocidad especial: el reposo respecto del medio. Por eso no pertenece al núcleo galileano libre. Cambiar a un laboratorio inercial con otra velocidad cambia qué estado se considera reposo.
Además, el término \(-\gamma\eta\) borra memoria de la preparación inicial: las velocidades se relajan hacia cero. Eso rompe la reversibilidad temporal del núcleo ideal que tomamos como punto de partida.
La conclusión no es que el rozamiento sea falso. La conclusión es:
\[
\boxed{\text{rozamiento significa sistema abierto, medio incluido o variables eliminadas.}}
\]
2.10
Modelo V: interacción interna
Una ley puede depender de posiciones sin depender de una posición absoluta. Ésta es una distinción crucial.
Para dos partículas aisladas en una línea, una interacción interna puede tener la forma esquemática
La ley depende de \(q_1-q_2\), no de \(q_1\) o \(q_2\) por separado.
Si trasladamos todo el sistema,
\[
q_1\mapsto q_1+a,
\qquad
q_2\mapsto q_2+a,
\]
la separación no cambia:
\[
(q_1+a)-(q_2+a)=q_1-q_2.
\]
Por tanto la ley puede seguir siendo homogénea espacialmente. Ha introducido relación interna, no centro externo.
En tres dimensiones, una interacción central depende solo de
\[
r=|\mathbf q_1-\mathbf q_2|.
\]
Eso conserva rotaciones globales: no hay dirección absoluta, solo la dirección relativa entre las partículas.
Este ejemplo enseña una regla importante:
\[
\boxed{
\begin{gathered}
\text{no toda dependencia posicional rompe homogeneidad;}\\
\text{la rompe la dependencia de posición absoluta.}
\end{gathered}
}
\]
Demo interactiva: posición absoluta o relación interna
Traslada dos partículas a la vez. Una interacción interna depende de la separación; un anclaje externo mira al origen.
Resultado:la traslación global no cambia la ley. Depender de posiciones relativas no es depender de un lugar absoluto.
2.11
Modelo VI: péndulo
El péndulo simple muestra otra manera de introducir estructura física. Aquí el espacio de configuración no es el plano libre. La longitud fija y el soporte reducen la configuración a un ángulo:
\[
Q=S^1.
\]
Un estado local puede escribirse como
\[
s=(\theta,\eta).
\]
Con gravedad uniforme y soporte fijo aparece una ley típica:
Esta ecuación no debe juzgarse como si describiera una partícula libre en el plano. El modelo ya contiene soporte, longitud fija y campo gravitatorio. Por eso no conserva traslaciones espaciales ordinarias ni isotropía completa.
Sí puede conservar homogeneidad temporal si el soporte no se mueve y la gravedad no cambia. También puede tener simetrías discretas propias cuando elegimos la posición de equilibrio como referencia.
La lección es que las simetrías se leen en el modelo y en su espacio de configuración real, no en una imagen cartesiana redundante que ya incluía vínculos eliminados.
Figura interactiva: qué estructura trae un péndulo
El péndulo no es una partícula libre mal escrita. El soporte, la longitud fija y la gravedad cambian el espacio de configuración y sus simetrías.
Configuración real
Estado local: \((\theta,\eta)\), con \(\theta=\)0.58. El espacio de configuraciones ya no es el plano libre: es \(S^1\).
Retener
Las simetrías se leen en el modelo construido, no en una imagen cartesiana redundante. Aquí hay pivote, vínculo de longitud y vertical física.
2.12
Qué hemos aprendido
El capítulo no ha elegido todavía una acción, ni un Hamiltoniano, ni una fuerza universal. Ha enseñado a leer leyes antes de resolverlas.
Una ley local es un campo de flechas sobre un espacio de presentes.
Ese campo no es admisible o inadmisible en abstracto; se juzga respecto de un modelo.
La covariancia descriptiva aplica siempre: las etiquetas no son física.
Las simetrías físicas dependen de la estructura que el modelo declara ausente o presente.
Romper una simetría no vuelve falsa una ley; obliga a declarar qué la rompe.
Una ecuación también es una contabilidad de estructura física.
La frase central es:
\[
\boxed{\text{una ecuación no solo predice movimiento; declara qué mundo estás modelando.}}
\]
2.13
Puente: de transformaciones a cantidades
Hasta aquí, una simetría ha significado una transformación que manda soluciones en soluciones. Eso ya restringe mucho la forma de las leyes posibles. Pero aún no hemos explicado cuándo una simetría viene acompañada por una cantidad física: momento, momento angular, energía.
En un espacio de estados desnudo, una función \(C(s)\) solo asigna un número a cada estado. No hay todavía una razón geométrica para que ese número genere una transformación. Para convertir cantidades en generadores, el estado necesita una estructura adicional.
La pregunta siguiente no es todavía “¿qué se conserva?”. Es más básica:
\[
\boxed{
\begin{gathered}
\text{¿qué debe ser el segundo dato del estado}\\
\text{para emparejarse con desplazamientos de configuración?}
\end{gathered}
}
\]