Los problemas clásicos se reorganizan por simetrías, generadores, reducción, transformaciones canónicas e invariantes de acción.
Ya tenemos la cadena principal:
Ahora conviene usarla en problemas clásicos sin regresar a una lista de recetas.
La rutina será:
identificar el espacio de configuración \(Q\);
pasar al espacio de fases \(T^*Q\);
escribir o restringir \(\mathcal{H}\) usando las simetrías del modelo;
buscar generadores conservados;
reducir el problema antes de resolver ecuaciones largas;
usar Lagrange solo si la proyección a \((q,\dot q)\) simplifica.
El oscilador armónico unidimensional tiene
El término \(kx^2/2\) marca un punto especial: \(x=0\). Por eso no describe una partícula libre en un espacio homogéneo, sino una partícula ligada a una estructura física que selecciona un centro.
En dos dimensiones,
Si \(k_x\neq k_y\), el modelo distingue direcciones. Hay anisotropía real. Si \(k_x=k_y\), el Hamiltoniano es invariante bajo rotaciones y el momento angular
se conserva.
La degeneración de frecuencias en el oscilador isotrópico no es un accidente algebraico. Es la huella de una simetría más grande.
Cuando varios osciladores están acoplados linealmente, una descripción inicial puede mezclar variables:
El problema no consiste en “probar trucos” hasta desacoplar. Consiste en encontrar coordenadas adaptadas a las direcciones propias de la forma cuadrática que define el modelo.
Al diagonalizar el problema aparecen modos normales. Cada modo se comporta como un oscilador independiente:
en coordenadas normalizadas.
La lección conceptual es la misma que en el capítulo 1: una buena coordenada no crea física, pero puede revelar una separación que estaba oculta.
Para una partícula en un potencial central,
La simetría rotacional implica conservación del momento angular
Esa conservación reduce el movimiento a un plano. En coordenadas polares dentro de ese plano,
Como \(\varphi\) no aparece, \(p_\varphi\) se conserva. Entonces la dinámica radial se lee con un potencial efectivo:
La barrera centrífuga no es una nueva fuerza misteriosa. Es el precio geométrico de reducir una dinámica con momento angular fijo.
Un vínculo reduce el espacio de configuraciones. Si una partícula está obligada a moverse sobre una superficie, no deberíamos empezar con coordenadas redundantes y olvidar luego que hay restricciones. Lo limpio es identificar el verdadero \(Q\) y trabajar en \(T^*Q\).
Para un péndulo simple, \(Q\) es un círculo. Una coordenada angular \(\theta\) describe directamente el grado de libertad. En fase usamos
El Hamiltoniano típico es
La elección angular no es un capricho: respeta el vínculo y evita introducir componentes cartesianas que no son independientes.
Cuando el vínculo depende del tiempo o se impone mediante un agente externo, hay que declarar esa estructura. Puede romper homogeneidad temporal, introducir trabajo externo o impedir una reducción simple.
No todo cambio de variables en fase conserva la estructura hamiltoniana. Las transformaciones admisibles deben preservar la forma simpléctica:
Una transformación que preserva \(\omega\) se llama canónica.
Esto refina la idea de covariancia descriptiva. En configuración, podíamos cambiar coordenadas \(q\mapsto Q(q)\) y transformar \(p\) como covector. En fase, podemos permitir cambios más amplios que mezclen \(q\) y \(p\), pero solo si conservan la estructura que hace posible el corchete de Poisson.
La pregunta correcta no es “¿puedo escribir variables nuevas?”. Siempre puedo. La pregunta es:
El flujo hamiltoniano preserva volumen en el espacio de fases. Éste es el contenido del teorema de Liouville.
En dos dimensiones de fase, la idea se ve así: un conjunto pequeño de estados puede estirarse, doblarse y deformarse, pero su área de fase se conserva. En más dimensiones se conserva el volumen simpléctico correspondiente.
Esto no es un detalle técnico. Distingue los flujos hamiltonianos de dinámicas disipativas efectivas. Un atractor que comprime volúmenes de fase puede ser útil para describir rozamiento o relajación, pero no pertenece al núcleo hamiltoniano cerrado sin añadir estructura externa o variables eliminadas.
La misma nube bajo un flujo hamiltoniano y bajo uno disipativo. Una se deforma conservando área; la otra cae hacia un atractor.
Un atractor útil para rozamiento no pertenece al núcleo hamiltoniano cerrado sin estructura externa.
En sistemas ligados e integrables aparece una posibilidad muy especial: elegir variables \((I,\theta)\) tales que
Las variables \(I\) son acciones. En una dimensión ligada,
Esta integral mide un área de fase. Por eso la palabra acción no aparece solo como principio variacional: también nombra un invariante geométrico asociado a ciclos en fase.
El oscilador armónico es el ejemplo limpio. Sus órbitas en fase son curvas cerradas, y el área encerrada determina la acción \(I\). En esas variables, la dinámica se vuelve rotación uniforme.
La teoría de Hamilton–Jacobi busca una transformación canónica que vuelva la dinámica trivial. La función principal \(S(q,t)\) satisface
Aquí \(p=\partial S/\partial q\). La acción vuelve a aparecer como función que genera una transformación y organiza familias de soluciones.
Hamilton–Jacobi no es una técnica aislada. Es la culminación clásica de la idea de generadores: si encuentras la función generadora adecuada, resolver la dinámica se convierte en cambiar a variables donde el flujo es simple.
Los problemas clásicos se leen primero por sus simetrías y su espacio de fases.
Las cantidades conservadas reducen la dimensión efectiva del flujo.
Las coordenadas adaptadas revelan estructura; no inventan física.
Las transformaciones canónicas son los cambios de variables que preservan la estructura generadora.
Liouville distingue el núcleo hamiltoniano cerrado de descripciones disipativas efectivas.
Acción–ángulo y Hamilton–Jacobi muestran que la acción también es geometría de fase, no solo integral lagrangiana.
Con esto el edificio clásico queda en una forma más coherente con el camino constructivo. Falta mirar qué sobrevive cuando la mecánica deja de asignar una única historia clásica y empieza a sumar amplitudes.