La acción reaparece primero en fase; la formulación lagrangiana surge cuando el momento puede eliminarse de forma regular.
Hasta aquí no hemos necesitado empezar por una acción. Construimos primero un espacio de presentes, filtramos leyes por simetrías, introdujimos el espacio de fases y vimos que las funciones pueden generar transformaciones.
Entonces, ¿para qué volver a hablar de acción?
Porque una formulación variacional hace visible otra organización del mismo contenido dinámico. En lugar de seguir el flujo punto a punto, compara curvas completas. Esa comparación resulta especialmente potente para conectar con geometría, aproximaciones semiclásicas, teoría de campos y mecánica cuántica.
La clave es no cambiar de fundamento sin darnos cuenta. La acción no sustituye la idea local de flujo: la reexpresa bajo condiciones adecuadas. Si una curva es la solución física, entonces cada pequeño tramo ya obedece el campo hamiltoniano; la formulación variacional empaqueta esa misma exigencia como una condición sobre historias completas.
Pero la acción que aparece de forma natural ahora no es primero
Esa será una proyección posterior. La acción que vive directamente en el espacio donde ya estamos trabajando es la acción canónica:
La frase guía es:
El término
es la forma canónica evaluada sobre la curva:
Por eso encaja con el capítulo 3. No es un truco algebraico: integra a lo largo de una historia el emparejamiento natural entre el dato conjugado y el desplazamiento de configuración.
La acción canónica compara dos ingredientes:
En forma compacta:
Esto explica por qué la acción no entra como un objeto extraño. Es la integral de la estructura de fase a lo largo de una curva, corregida por el Hamiltoniano que genera el avance temporal.
Tomamos variaciones de \(q^i(t)\) y \(p_i(t)\), fijando los extremos de \(q\):
La variación de
es
Integramos por partes el término \(p_i\,\delta\dot q^i\):
El término de borde desaparece por las condiciones fijadas sobre \(q\). Queda
Para que \(\delta S=0\) bajo variaciones arbitrarias, debe cumplirse
La acción canónica reproduce Hamilton.
La condición no dice que la naturaleza “pruebe todas las historias” ni que la acción tenga que ser mínima. Dice algo más preciso: entre curvas cercanas en el espacio de fases, la curva física hace que el cambio de \(S\) no tenga término lineal.
La palabra correcta es estacionaria:
Puede ser mínimo, máximo o punto de silla. Lo importante es que la condición variacional empaqueta las ecuaciones locales de Hamilton en una afirmación sobre historias completas.
Esto no contradice la localidad temporal del capítulo 1. La ecuación local y la acción son dos maneras de organizar el mismo contenido, bajo hipótesis de regularidad y condiciones de borde adecuadas.
Mueve una familia de curvas alrededor de la curva física. El residuo local desaparece justo cuando la historia sigue el campo hamiltoniano.
La acción estacionaria empaqueta la misma condición local del flujo; no introduce una memoria no local.
La acción canónica usa \(q\) y \(p\) como variables independientes. Para llegar a una acción solo en configuración necesitamos poder despejar \(p\) a partir de
Si esa relación es invertible, podemos escribir
Entonces definimos
Y la acción canónica se proyecta a
Éste es el lugar natural de Lagrange en este curso:
No es el origen lógico de toda la mecánica. Es una traducción muy útil cuando la proyección a \(TQ\) es regular.
Compara un caso regular, donde cada velocidad elige un p único, con un caso degenerado, donde la proyección pierde información.
Lagrange aparece si la proyección a (q, qdot) no colapsa datos de fase físicamente distintos.
Una vez definida \(\mathcal{L}(q,\dot q,t)\), la condición \(\delta S[q]=0\) conduce a
Éstas son las ecuaciones de Euler–Lagrange.
En la exposición tradicional parecen el centro. Aquí tienen otro papel: son la forma que adoptan las ecuaciones de Hamilton cuando la variable \(p\) se ha eliminado de manera regular.
La definición
no entra como punto de partida. Entra como consecuencia de la proyección lagrangiana. Por eso el momento canónico no debe entenderse primero como una derivada formal de \(\mathcal{L}\), sino como el covector conjugado que ya vivía en \(T^*Q\).
Si cambiamos el lagrangiano por
la acción cambia por
Con extremos fijos, ese cambio de borde no altera las ecuaciones de Euler–Lagrange.
Esto no es lo mismo que un cambio de coordenadas, ni lo mismo que una simetría física. Son tres equivalencias distintas:
La primera cambia la descripción. La segunda cambia el representante lagrangiano sin cambiar el problema variacional con esos bordes. La tercera transforma situaciones físicas de un modelo en situaciones físicamente equivalentes para la ley.
Ahora sí podemos enunciar la versión lagrangiana de Noether sin convertirla en fundamento.
Si una transformación continua cambia la acción solo por un término de borde, entonces existe una cantidad conservada a lo largo de las soluciones. En una coordenada, si
la cantidad asociada tiene la forma
En varias coordenadas:
Pero ahora sabemos leer esto de otro modo. El término
es el \(p_i\) que aparece al proyectar desde fase. Por tanto \(J\) es el generador hamiltoniano escrito en el idioma lagrangiano cuando esa traducción es válida.
Noether no dice que las conservaciones nazcan de una fórmula aislada. Dice que la simetría de la acción expresa, en lenguaje variacional, la compatibilidad entre un generador y la evolución.
Una acción lagrangiana podría depender de aceleraciones:
Matemáticamente se puede estudiar. Pero constructivamente hay que preguntar qué memoria física adicional se ha introducido.
Una dependencia regular en \(\ddot q\) suele llevar a ecuaciones de orden más alto. Eso exige más datos iniciales. En el lenguaje del capítulo 1:
Si esa memoria tiene entidad física, quizá hemos eliminado grados de libertad que deberían estar presentes. Si no la tiene, el modelo está añadiendo estructura sin justificación.
Hay además fenómenos de inestabilidad asociados a teorías regulares de orden alto. Pero esa idea debe tratarse con cuidado y no sustituye al argumento básico de este curso: antes de aceptar datos iniciales extra, hay que explicar qué representan físicamente.
La acción reaparece primero en fase:
La variación de esa acción da directamente las ecuaciones de Hamilton.
Lagrange aparece si podemos eliminar \(p\) de forma regular.
Euler–Lagrange es la sombra de Hamilton proyectada al espacio de configuraciones y velocidades.
Derivadas totales, cambios de coordenadas y simetrías físicas son equivalencias distintas.
Noether lagrangiano es una traducción variacional de la cadena simetría, generador y conservación.
Con esto recuperamos el lenguaje tradicional sin dejar que gobierne la construcción. Ahora podemos volver a problemas clásicos, pero leyéndolos desde la estructura: simetrías, fase, generadores, reducción y, cuando convenga, proyección lagrangiana.