Las funciones en espacio de fases generan transformaciones; de ahí emergen conservación, reducción y el Hamiltoniano libre por simetrías.
El capítulo anterior introdujo el espacio de fases como algo más que una lista de pares \((q,p)\). Su estructura simpléctica permite asociar a una función \(G(q,p,t)\) un campo de transformación.
Ahora necesitamos una operación que diga cómo interactúan dos funciones cuando se leen como generadores. Esa operación es el corchete de Poisson:
No es una fórmula para memorizar aislada. Es la manera coordenada de expresar la estructura simpléctica.
Si \(G\) genera una transformación infinitesimal, el cambio de cualquier observable \(f\) viene dado por
Aquí una función deja de ser solo una lectura del estado. También puede actuar sobre el estado.
El Hamiltoniano es el generador de la evolución temporal. Por tanto, para cualquier observable \(f(q,p,t)\),
Las ecuaciones de Hamilton son el caso particular \(f=q^i\) y \(f=p_i\):
Este punto es clave para el enfoque constructivo:
El tiempo no se añade como una receta externa. Avanzar en el tiempo es aplicar el flujo que genera una función especial del espacio de fases.
Si el sistema es autónomo, esos avances forman una familia con composición: avanzar \(\tau_1\) y luego \(\tau_2\) equivale a avanzar \(\tau_1+\tau_2\). Por eso se parece formalmente a una simetría continua. Pero conceptualmente no conviene mezclar los papeles: una cosa es el flujo temporal que define la dinámica y otra una simetría física adicional que transforma soluciones en soluciones.
Una cantidad \(G(q,p,t)\) se conserva si no cambia a lo largo de la evolución:
Usando el corchete de Poisson,
Por tanto,
es la condición de conservación.
Si \(G\) no depende explícitamente del tiempo, queda
En palabras: \(G\) se conserva cuando su flujo generado conmuta con el flujo temporal.
Esto completa la idea que en el capítulo 2 dejamos abierta. Una simetría era una transformación que manda soluciones en soluciones. En espacio de fases, cuando esa transformación tiene un generador \(G\), la compatibilidad con la evolución se lee como conservación de \(G\).
Veamos por qué esta lectura es tan fértil.
En una dimensión,
genera traslaciones espaciales, porque
El momento no aparece primero como “masa por velocidad”. Aparece como el generador de desplazamientos.
En el plano, el momento angular
genera rotaciones:
La forma concreta de \(L_z\) no es una casualidad. Es la función cuyo flujo en fase rota simultáneamente posiciones y momentos.
Y el Hamiltoniano genera evolución temporal:
Elige una función generadora y mira qué campo de transformación pinta sobre una nube de estados.
Momento, momento angular y Hamiltoniano se entienden primero por el flujo que generan.
Ahora podemos ordenar la cadena sin pasar por Lagrange:
La simetría no es consecuencia del formalismo. Es una restricción física previa. Lo que aporta el formalismo hamiltoniano es una traducción poderosa: cuando la simetría es hamiltoniana, existe una función generadora.
No todas las transformaciones de un espacio de estados arbitrario tienen por qué venir de una función generadora. Ésa es precisamente la ganancia de la estructura simpléctica: permite formular y comprobar esa relación.
Construyamos ahora el Hamiltoniano libre usando simetrías, no una acción lagrangiana.
Para una partícula libre en una dimensión, la homogeneidad espacial impide que el Hamiltoniano dependa de la posición:
En más dimensiones, la isotropía exige que dependa solo de \(p^2\):
Todavía no sabemos que sea cuadrático.
La relatividad galileana añade el generador de boosts. En una dimensión, para una partícula libre, el boost se representa por
Aquí \(m\) no se introduce como “masa por aceleración”, ni como una definición previa \(p=m\dot q\). Es la escala física que caracteriza cómo esa partícula realiza la simetría galileana. Más adelante se leerá como masa inercial, pero en este punto entra por la estructura de la simetría, no por una receta dinámica importada.
Si todos los laboratorios inerciales son equivalentes, \(K\) debe ser una cantidad conservada para la partícula libre:
Calculamos:
Por tanto,
Pero en la formulación hamiltoniana
Luego
Integrando:
Hemos obtenido el Hamiltoniano libre sin empezar por \(\mathcal{L}=\frac12m\dot q^2\). La forma cuadrática sale de exigir que el flujo en fase respete las simetrías del modelo, en especial los boosts galileanos.
Homogeneidad e isotropía dejan muchas funciones de p. La compatibilidad galileana fija la pendiente dH/dp=p/m.
La cuadrática no se mete por tradición: aparece al exigir compatibilidad con laboratorios inerciales.
Una cantidad conservada no solo ahorra cálculo. Reduce el problema.
Si \(p\) se conserva, el movimiento en la dirección asociada a traslaciones se desacopla. Si \(L_z\) se conserva, un problema central plano puede reducirse a una dinámica radial efectiva. Si \(\mathcal{H}\) se conserva, las trayectorias quedan contenidas en superficies de energía constante.
La reducción no es un truco posterior. Es la consecuencia práctica de haber identificado generadores que conmutan con la evolución. Menos variables cambian de forma independiente; el flujo queda confinado a subespacios compatibles con las constantes de movimiento.
Ésta será la manera limpia de leer muchos problemas clásicos: antes de derivar ecuaciones largas, mirar qué simetrías tiene el modelo y qué generadores se conservan.
El teorema de Noether no desaparece. Cambia de lugar.
En el camino tradicional, se presenta a menudo como:
Ese camino es correcto dentro del marco variacional lagrangiano, pero no es el fundamento conceptual que necesitamos aquí.
Nuestro camino ha sido:
Más adelante, cuando introduzcamos la acción, veremos que Noether es la versión variacional de esta misma arquitectura. No será una magia nueva, sino otra traducción de una relación que ya conocemos.
En espacio de fases, una función puede generar una transformación.
El corchete de Poisson mide cómo actúa un generador sobre un observable.
El Hamiltoniano genera la evolución temporal.
Una cantidad se conserva cuando su generador conmuta con la evolución, salvo dependencia temporal explícita.
Momento, momento angular y energía se entienden primero como generadores; después se leen como cantidades conservadas cuando la simetría correspondiente está presente.
La forma libre \(\mathcal{H}=p^2/(2m)\) puede obtenerse desde simetrías galileanas, sin introducir antes un lagrangiano.
La pregunta pendiente ya no es cómo escribir la ley local. Ahora sabemos hacerlo en fase. La pregunta es por qué una formulación por acción sigue siendo útil y cómo aparece Lagrange sin convertirlo en fundamento.