Qué falta después del estado mínimo
El capítulo 1 construyó un presente mínimo:
La configuración \(q\) dice dónde está el sistema en su espacio de configuraciones. El dato \(\eta\) dice cómo está cruzando localmente ese espacio. Sin ese segundo dato, una misma configuración podría continuar de varias maneras sin que la ley local supiera distinguir las preparaciones.
El capítulo 2 añadió otra idea: una ley no se juzga sola, sino contra el modelo físico que declara qué estructuras existen. También vimos que una simetría como transformación de soluciones todavía no es una cantidad conservada. Para hablar de momento, momento angular o energía como generadores necesitamos más estructura.
La pregunta de este capítulo es:
La respuesta no será cambiar la letra \(\eta\) por \(p\). Ese sería el error conceptual. El salto real es que \(\eta\) y \(p\) viven en espacios de tipo distinto.
Tangentes y covectores
Un dato de cambio como \(\eta\) es una dirección en el espacio de configuraciones. Si el sistema está en \(q\in Q\), entonces
Esto quiere decir: \(\eta\) es tangente a \(Q\). Describe hacia dónde atraviesa el sistema el espacio de configuraciones.
Un dato conjugado \(p\) no es otra dirección de movimiento. Es algo que evalúa direcciones:
Si \(\delta q\in T_qQ\) es un pequeño desplazamiento virtual de configuración, entonces \(p\) produce un número:
En coordenadas,
La diferencia conceptual es ésta:
Por eso pasar de \(\eta\) a \(p\) no es gratis. Hace falta una estructura física que diga cómo el dato de cambio se empareja con desplazamientos. En modelos ordinarios esa estructura estará relacionada con la inercia. En una partícula libre familiar acabaremos encontrando algo como \(p=m\dot q\). Pero no debe entrar como dogma inicial.
El emparejamiento conjugado
Lo que debe sobrevivir a un cambio de coordenadas no es el número aislado \(p_i\). Es el emparejamiento completo:
Aquí \(dq^i\) representa un desplazamiento infinitesimal de configuración, y \(p_i\) es el objeto que lo evalúa.
Veámoslo en una línea. Supongamos que cambiamos de coordenada mediante
Entonces
Si el emparejamiento debe ser el mismo,
entonces
El número que nombra al covector cambia, pero cambia justo de la manera inversa al desplazamiento. Así el producto total no depende de la etiqueta usada.
La lección es:
En varias dimensiones, si
los desplazamientos transforman como
Pedir
obliga a
Ésa es la regla de transformación de un covector.
Ejemplo: coordenada angular
Un péndulo simple ayuda a separar intuiciones. Su configuración puede describirse por un ángulo:
El dato de cambio cinemático es
Pero el momento conjugado al ángulo no es, en el modelo ordinario, simplemente \(\dot\theta\). Cuando añadimos la estructura inercial del péndulo, aparece
No usamos esta fórmula como definición fundacional. La usamos para ver el tipo de diferencia: \(p_\theta\) contiene la escala inercial y geométrica del sistema.
El emparejamiento natural no es
sino
Un pequeño giro \(d\theta\) es evaluado por el covector conjugado \(p_\theta\). Por eso \(p_\theta\) no es “la velocidad angular con otro nombre”.
El espacio natural: el cotangente
Si a cada configuración \(q\in Q\) le asociamos no otra configuración, sino un covector \(p\in T_q^*Q\), obtenemos el cotangente:
Un punto de este espacio se escribe localmente como
Pero la escritura local no debe engañarnos. \(T^*Q\) no es \(Q\times Q\), ni una duplicación de coordenadas. Es el espacio de configuraciones junto con todos sus covectores conjugados.
La frase útil es:
En el capítulo 1, \(s=(q,\eta)\) cerraba la predicción local. Ahora, al pasar a \(z=(q,p)\), no estamos negando eso. Estamos añadiendo la estructura que permite hablar de emparejamientos, generadores y flujo hamiltoniano.
La forma canónica
En \(T^*Q\) existe un objeto natural:
Se llama forma canónica. El nombre importa menos que su función: guarda de forma geométrica el emparejamiento entre covectores y desplazamientos de configuración.
Si cambiamos de coordenadas,
Por tanto \(\Theta\) no depende de la etiqueta local. La coordenada cambia; el emparejamiento no.
Podemos leer \(\Theta\) como la memoria geométrica de que \(p\) no es otra coordenada de configuración, sino el dato que evalúa desplazamientos de \(q\).
La forma de fase
La forma canónica guarda el emparejamiento. Para convertir funciones en campos de flechas necesitamos una estructura derivada de ella:
Según la convención de signo, también se escribe \(\omega=-d\Theta\). Aquí mantendremos la convención anterior.
En una dimensión, \(\omega=dq\wedge dp\) mide áreas orientadas elementales en el plano \((q,p)\). Pero no conviene pensar en ella como una métrica. No mide longitudes de flechas ni ángulos. Mide la estructura conjugada entre direcciones de \(q\) y direcciones de \(p\).
Ésta es la geometría nueva. En un espacio con métrica, una función produce un gradiente: una dirección de máximo crecimiento. En un espacio de fase, una función produce otra cosa: un campo de transformación que respeta la estructura simpléctica.
Cómo una función genera una flecha
Ahora hagamos la operación en una dimensión antes de escribirla de forma compacta. Sea
Su diferencial es
La estructura de fase convierte ese diferencial en una flecha:
Es decir, bajo una transformación infinitesimal generada por \(G\),
Esto ya muestra qué significa “generar”. Si
entonces
El momento conjugado \(p\) genera traslaciones de \(q\).
Si
entonces
La coordenada \(q\) genera traslaciones de \(p\), con el signo fijado por la estructura de fase.
La forma compacta de todo esto es
Pero ahora la fórmula ya no cae del cielo: es el mecanismo que convierte el diferencial de una función en una flecha de transformación.
La dinámica hamiltoniana como caso especial
Si la función que genera el flujo temporal se llama \(\mathcal{H}\), entonces
Seguir ese campo en el tiempo da
Éstas son las ecuaciones de Hamilton.
En este curso no aparecen como una transformación de Legendre aplicada a un lagrangiano previo. Aparecen porque hemos enriquecido el estado hasta tener una estructura de fase, y esa estructura permite leer una función como generador de un flujo.
El orden conceptual es:
Qué leyes quedan fuera
No todo campo de flechas sobre \((q,p)\) es hamiltoniano. Éste es un filtro nuevo.
En una dimensión, un campo general en fase tiene la forma
Para que exista una función \(\mathcal{H}\) tal que
debe cumplirse, al menos localmente,
En el plano \((q,p)\), esta condición dice que el flujo no comprime área de fase.
El oscilador ideal
cumple
De hecho viene de
En cambio, si añadimos rozamiento efectivo,
entonces
El flujo comprime área de fase. Eso no describe un sistema cerrado hamiltoniano en las dos variables \((q,p)\). Puede describir un sistema abierto, un medio eliminado o una dinámica efectiva.
Qué conviene retener
El capítulo no ha duplicado variables. Ha cambiado el tipo del segundo dato.
\(s=(q,\eta)\) cierra la predicción local.
\(\eta\in T_qQ\) es un dato tangente de cambio.
\(p\in T_q^*Q\) es un dato conjugado que evalúa desplazamientos.
\(T^*Q\) es el espacio natural de pares \((q,p)\).
\(\Theta=p_i\,dq^i\) conserva el emparejamiento.
\(\omega=dq^i\wedge dp_i\) permite convertir funciones en campos.
Una función \(G\) genera una transformación mediante \(X_G\).
La dinámica hamiltoniana es el caso en que el generador elegido es \(\mathcal{H}\).
No todo campo en fase es hamiltoniano; debe preservar la estructura de fase.
La pregunta siguiente ya puede formularse con precisión:
La respuesta será el corchete de Poisson. Ahí aparecerá con claridad la cadena: generador, simetría y conservación.