La condición de simetría no es una fórmula aislada: es la versión infinitesimal de exigir que dos maneras de recorrer una película corta den el mismo resultado.
En el capítulo usamos esta condición para una simetría finita \(\Phi\):
\[
\Phi_*X_s=X_{\Phi(s)}.
\]
Leída sin geometría, dice algo muy concreto: si transportas la flecha que la ley pinta en \(s\), obtienes la misma flecha que la ley pinta directamente en el punto transformado \(\Phi(s)\).
Cuando la simetría depende de un parámetro continuo y está generada por un campo \(Y\), esa misma condición se escribe de forma infinitesimal como
\[
[Y,X]=0.
\]
El objetivo de este anexo es ver por qué esas dos frases son la misma idea escrita a dos escalas distintas.
A.2
Campo y flujo
Un campo vectorial \(X\) asigna a cada estado \(s\) una flecha \(X_s\). Si sigues esas flechas durante un tiempo \(t\), obtienes una transformación del espacio de estados:
\[
\varphi_t^X(s).
\]
Esto se llama flujo del campo \(X\). Por definición, al empezar en \(t=0\) tienes
En lenguaje del curso: el campo pinta las flechas; el flujo es la película que sale al seguirlas.
Visual: del campo al flujo
El campo \(X\) está dibujado como flechas locales. El punto naranja es \(\varphi_t^X(s)\): el resultado de seguir esas flechas durante un tiempo \(t\).
Estado inicial
Partimos de \(s=\)(0.88, 0.18). La flecha local allí es \(X_s=\)(-0.18, 0.88).
Flujo
Tras \(t=\)1.15, el estado queda en \(\varphi_t^X(s)=\)(0.21, 0.87).
Retener
El campo es local: dice cómo empieza la continuación en cada punto. El flujo es global: reconstruye la película al encadenar esas continuaciones.
A.3
Transportar una flecha
Una transformación \(\Phi:M\to M\) no solo mueve puntos. También mueve flechas pegadas a esos puntos. Si \(v\in T_sM\), la flecha transportada se define mirando una curva con esa velocidad:
En coordenadas, esto no es más que multiplicar por el jacobiano de \(\Phi\). Pero la lectura importante es física: transportar una flecha significa transformar una pequeña película completa, no solo su punto inicial.
Visual: transportar una flecha
La flecha de la derecha no se inventa en el punto transformado. Sale de aplicar \(\Phi\) a la cola y a la punta de una flecha pequeña.
Antes
La flecha inicial tiene componente \(v=\)(0.74, 0.42).
Después
Con giro 0.55 y escala 1.25, la flecha transportada tiene componente \(\Phi_*v=\)(0.57, 0.84).
Retener
El pushforward no pregunta qué ley hay en el destino. Solo transporta una flecha ya dada mediante la transformación \(\Phi\).
A.4
Simetría finita
Si \(\Phi\) es una simetría de la ley, transformar una solución debe producir otra solución de la misma ley. Eso se escribe como conmutación de películas:
La izquierda es la ruta A: primero avanzas con la dinámica y luego transformas. La derecha es la ruta B: primero transformas y luego avanzas con la misma dinámica.
Deriva ambos lados respecto de \(t\) en \(t=0\). En la izquierda aparece la flecha transportada; en la derecha, la flecha que la ley asigna directamente al punto transformado:
Si haces un pequeño rectángulo de movimientos —un poco con \(X\), un poco con \(Y\), deshacer \(X\), deshacer \(Y\)— el primer término que no se cancela es proporcional a \(t\lambda [Y,X]\). Si el rectángulo cierra a primer orden no trivial, el corchete se anula.
\[
\boxed{[Y,X]=0}
\]
Por eso esta igualdad no añade un principio físico nuevo. Es la escritura infinitesimal de la misma exigencia: las dos rutas deben representar la misma película física.
Visual: el hueco que mide el corchete
Compara dos rutas pequeñas: primero \(X\) y luego \(Y\), o primero \(Y\) y luego \(X\). Si el rectángulo no cierra, aparece el corchete.
Campos
Tomamos \(X=\partial_q\). El campo \(Y\) es vertical proporcional a q. Los pasos son \(\varepsilon=\)0.72 y \(\lambda=\)0.72.
Resultado
las rutas dejan un hueco. El desplazamiento entre finales es (0.00, 0.52).
Retener
El corchete captura el primer término de ese hueco cuando los dos pasos se hacen infinitesimales.
A.7
Ejemplo mínimo
En el plano \((q,\eta)\), una rotación infinitesimal está generada por
\[
Y
=
-\eta\frac{\partial}{\partial q}
+
q\frac{\partial}{\partial \eta}.
\]
Si el campo dinámico es el mismo campo de rotación, \(X=Y\), entonces
\[
[Y,X]=[Y,Y]=0.
\]
Eso expresa que rotar la película de una rotación produce otra película compatible con la misma ley.
En cambio, si la ley pinta siempre una flecha horizontal fija,
La rotación cambia la dirección de la flecha física, pero la ley insiste en pintar la misma flecha horizontal. La transformación ha revelado que la ley contenía una dirección privilegiada.
Retener
\([Y,X]=0\) significa que el movimiento generado por la simetría y el movimiento generado por la dinámica son compatibles localmente. No es una receta para encontrar leyes; es un test de coherencia entre una ley y una indiferencia del modelo.